Задание 8 ЕГЭ по базовой математике

Теория к заданию 8 ЕГЭ по базовой математике: логика и множества

Нужно выбрать все утверждения, которые обязательно верны при заданных условиях.

Что нужно знать

• Формулировка «не может оказаться» требует доказать невозможность, а для «найдётся» достаточно одного примера.
• Если из 40 объектов 10 обладают признаком А, а 20 обладают признаком Б, пересечение может меняться от 0 до 10.
• Число объектов без обоих признаков не меньше, чем 40 − 10 − 20 = 10, но точное значение зависит от пересечения.
• Утверждения с «если..., то...» ложны, когда можно построить контрпример.

Логика утверждений

• Утверждение «все A являются B» опровергается одним контрпримером.
• Утверждение «некоторые A являются B» верно, если найдётся хотя бы один такой A.
• Отрицанием «все» служит «хотя бы один не», а не «ни один».
• Из «все A входят в B» не следует «все B входят в A»: обратное утверждение надо проверять отдельно.
• Если задано «если A, то B», то из отсутствия B следует отсутствие A, но из отсутствия A ничего не следует.
• Слово «обязательно» означает: утверждение должно быть верным при любом наборе данных, удовлетворяющем условию.
• Проверяйте каждое утверждение отдельно, придумывая для него контрпример.

Как решать задание 8

1. Выпишите все данные в виде множеств и их мощностей.
2. Для каждого утверждения решите, оно обязательно верно или лишь возможно.
3. Подбирайте контрпример: если он существует, утверждение неверно.
4. Проверьте граничные случаи: именно они чаще всего и опровергают утверждение.
5. Запишите номера подряд.

Разбор примера

Частые ошибки

• Считают верным утверждение, которое лишь может выполняться.
• Забывают, что признаки могут пересекаться.