Задание 19 ЕГЭ по базовой математике

Теория к заданию 19 ЕГЭ по базовой математике: числа и их свойства

Нужно подобрать число, удовлетворяющее нескольким условиям: делимость, остатки, состав цифр.

Что нужно знать

• Признаки делимости: число делится на 2, если последняя цифра чётная; на 3, если сумма цифр делится на 3; на 4, если на 4 делится число из двух последних цифр; на 5, если оно оканчивается на 0 или 5; на 9, если сумма цифр делится на 9.
• Если число даёт одинаковый остаток r при делении на несколько чисел, оно имеет вид НОК(этих чисел)·k + r.
• НОК(4, 5, 6) = 60, поэтому числа с остатком 2 имеют вид 60k + 2.
• Ответ обычно не единственный, поэтому достаточно предъявить одно подходящее число.

Признаки делимости

• На 2 делится число, у которого последняя цифра чётная. На 5 делится число с последней цифрой 0 или 5. На 10 делится число с последней цифрой 0.
• На 3 делится число, у которого сумма цифр делится на 3. На 9 делится число, у которого сумма цифр делится на 9.
• На 4 делится число, у которого число из двух последних цифр делится на 4. На 8 делится число, у которого на 8 делится число из трёх последних цифр.
• На 6 делится число, которое делится и на 2, и на 3. На 15 делится число, которое делится и на 3, и на 5.
• На 11 делится число, у которого знакочередующаяся сумма цифр делится на 11.
• Если условий несколько, начинайте с самого жёсткого: обычно это делимость на 4, 8 или 9.
• В задании обычно просят найти какое-нибудь число, так что достаточно одного подходящего примера.
• Обязательно проверьте найденное число по каждому условию отдельно.

Как решать задание 19

1. Переведите условия про остатки в общий вид через НОК.
2. Выпишите несколько чисел этого вида в нужном диапазоне.
3. Проверьте дополнительные условия: количество цифр, чётность всех цифр.
4. Выберите первое подходящее число.
5. Запишите его.

Разбор примера

Частые ошибки

• Ищут число перебором подряд вместо использования НОК.
• Проверяют только часть условий.