Задание 7 ЕГЭ по базовой математике

Теория к заданию 7 ЕГЭ по базовой математике: производная и касательная по графику

Нужно соотнести точки графика со значениями производной, опираясь на наклон касательных.

Что нужно знать

• Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке.
• Если касательная идёт вверх, производная положительна; если вниз, отрицательна.
• Чем круче касательная, тем больше модуль производной; пологая касательная даёт значение, близкое к нулю.
• Угловой коэффициент считается как отношение приращения по вертикали к приращению по горизонтали между двумя узлами сетки.

Производная по графику

• Производная равна тангенсу угла наклона касательной. Если касательная идёт вверх, производная положительна; если вниз, отрицательна.
• Чем круче касательная, тем больше модуль производной.
• Горизонтальная касательная означает, что производная равна нулю.
• Чтобы найти значение производной по графику, постройте прямоугольный треугольник с катетами по клеткам: производная равна отношению вертикального катета к горизонтальному.
• Знак производной определяется направлением: если слева направо касательная идёт вверх, знак плюс, если вниз, знак минус.
• Если на рисунке график производной, а не функции, всё читается наоборот: нули производной соответствуют экстремумам функции.
• Внимательно читайте подпись под рисунком: в базовой математике там указано, что именно изображено.

Как решать задание 7

1. Определите знак производной в каждой точке по направлению касательной.
2. Разделите значения из правого столбца на положительные и отрицательные.
3. Оцените крутизну каждой касательной и сопоставьте с модулем значения.
4. Проверьте, что каждое значение использовано один раз.
5. Запишите цифры в порядке букв.

Разбор примера

Частые ошибки

• Определяют знак производной по положению точки относительно оси, а не по наклону касательной.
• Путают крутую и пологую касательные при близких значениях.