Задание 13 ЕГЭ по базовой математике

Теория к заданию 13 ЕГЭ по базовой математике. Стереометрия: подобие тел

Задача на отношение объёмов и площадей подобных тел или на сечение, параллельное основанию.

Что нужно знать

• Сечение, параллельное основанию конуса или пирамиды, отсекает тело, подобное исходному.
• Если линейные размеры относятся как k, то площади относятся как k², а объёмы относятся как k³.
• Точка делит высоту в отношении 1 : 2 от вершины. Значит, коэффициент подобия равен ⅓, а объёмы относятся как 1 : 27.
• Объём усечённой части равен разности объёмов большого и малого тел.

Подобие в пространстве

• Если линейные размеры тел относятся как k, то площади относятся как k², а объёмы относятся как k³.
• Плоскость, параллельная основанию конуса или пирамиды, отсекает подобное тело.
• Если отсекающая плоскость проходит через середину высоты, коэффициент подобия равен 1/2, значит объём меньшего тела в 8 раз меньше.
• Усечённое тело получается как разность большого тела и отсечённого: его объём равен V − V_малого.
• Если увеличить в k раз одно измерение, объём изменится в k раз; если два измерения, в k² раз; если все три, в k³ раз.
• Для площади поверхности работает тот же принцип: изменение линейных размеров в k раз даёт изменение площади в k² раз.
• Проверяйте, о чём спрашивают: об объёме меньшей части, большей части или об их отношении.

Как решать задание 13

1. Определите коэффициент подобия по отношению, заданному для высоты.
2. Возведите коэффициент в куб для объёмов или в квадрат для площадей.
3. Составьте пропорцию с известной величиной.
4. Найдите искомый объём и проверьте, что он больше отсечённого.
5. Запишите число.

Разбор примера

Частые ошибки

• Используют коэффициент в первой степени вместо куба.
• Берут отношение 1 : 2 как коэффициент подобия, хотя высота делится на три части.