Задание 16 ЕГЭ по базовой математике

Теория к заданию 16 ЕГЭ по базовой математике: преобразование выражений со степенями

Нужно упростить выражение со степенями, корнями или логарифмами и найти его значение.

Что нужно знать

• Свойства степеней: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
• Составные основания раскладывают на простые множители: 12 = 2²·3, 6 = 2·3.
• После разложения одинаковые основания собирают и вычитают показатели.
• Корни: √(ab) = √a·√b; (√a)² = a при a ≥ 0.

Свойства степеней, корней и логарифмов

• a^m · a^n = a^(m+n); a^m : a^n = a^(m−n); (a^m)^n = a^(mn).
• a^0 = 1 при a ≠ 0; a^(−n) = 1/a^n.
• (ab)^n = a^n · b^n; (a/b)^n = a^n / b^n.
• Дробный показатель: a^(m/n) = ⁿ√(a^m); в частности a^(1/2) = √a.
• Корни: √a · √b = √(ab); √a : √b = √(a/b); (√a)² = a при a ≥ 0.
• Логарифмы: log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x^p) = p·log_a x; a^(log_a b) = b.
• Частные значения: log_a 1 = 0; log_a a = 1; lg 100 = 2; log₂ 8 = 3.
• При упрощении сначала приведите все степени к одному основанию: дальше всё считается сложением показателей.

Как решать задание 16

1. Разложите все основания на простые множители.
2. Примените свойство степени произведения.
3. Соберите одинаковые основания и вычтите показатели.
4. Вычислите оставшееся выражение.
5. Запишите число.

Разбор примера

Частые ошибки

• Складывают показатели при делении вместо вычитания.
• Забывают возвести в степень все множители основания.