Ответ
5
Задание 8 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Производная и первообразная, графики
Задание 8 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «производная и первообразная, графики». Ниже вы найдёте 3 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
Ответ
6
Ответ
1,6
Теория к заданию 8 ЕГЭ по профильной математике: производная и первообразная, графики
По графику функции или её производной нужно найти точки экстремума, промежутки возрастания, значение производной или площадь.
Что нужно знать
- Если f′(x) > 0, функция возрастает; если f′(x) < 0, она убывает.
- Точка максимума находится там, где производная меняет знак с плюса на минус; в точке минимума знак меняется с минуса на плюс.
- Нули производной, где знак не меняется, точками экстремума не являются.
- Геометрический смысл производной: значение f′(x₀) равно тангенсу угла наклона касательной, то есть её угловому коэффициенту.
- Площадь под графиком функции равна приращению первообразной: S = F(b) − F(a).
Связь функции и её производной
- Если f′(x) > 0, функция возрастает; если f′(x) < 0, она убывает.
- Точка максимума: производная меняет знак с плюса на минус. Точка минимума: с минуса на плюс.
- Если производная равна нулю, но знак не меняет, экстремума нет.
- Геометрический смысл производной: значение f′(x₀) равно тангенсу угла наклона касательной в точке x₀.
- Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
- Касательная параллельна прямой y = kx + b в точках, где f′(x) = k.
- Первообразная: если F′ = f, то площадь криволинейной трапеции равна F(b) − F(a).
- Внимательно смотрите подпись к рисунку: график функции и график производной выглядят одинаково, но читаются по-разному.
Как решать задание 8
- Определите, что изображено: сама функция или её производная. От этого зависит всё решение.
- Отметьте на графике производной точки пересечения с осью Ox.
- В каждой такой точке определите смену знака и выберите нужный тип экстремума.
- Отберите точки, попадающие в указанный отрезок, включая его границы, если они входят.
- Посчитайте количество и запишите число.
Разбор примера
Функция y = f(x) определена на отрезке [−5; 5]. Её производная отрицательна на (−5; −2), положительна на (−2; 1), отрицательна на (1; 3) и положительна на (3; 5). Найдите количество точек максимума.
- В точке максимума производная меняет знак с плюса на минус.
- Проверяем точку x = −2: слева минус, справа плюс. Это минимум.
- Проверяем точку x = 1: слева плюс, справа минус. Это максимум.
- Проверяем точку x = 3: слева минус, справа плюс. Это минимум.
- Смена знака с плюса на минус произошла один раз, значит точка максимума одна.
Ответ1
Частые ошибки
- Ищут экстремумы функции по её собственному графику, хотя дан график производной.
- Считают точкой максимума нуль производной, в котором знак не меняется.
Задание 8 входит в ЕГЭ по профильной математике. На этой странице собраны все варианты этого номера, которые разобраны на сайте: условие, правильный ответ и разбор решения. Остальные номера открываются в списке выше, а целиком все задания ЕГЭ по профильной математике с ответами собраны на странице предмета.