Задание 7 ЕГЭ по профильной математике

Теория к заданию 7 ЕГЭ по профильной математике: вычисления и преобразования

Нужно найти значение выражения: тригонометрия, степени, корни, логарифмы.

Что нужно знать

• Формула синуса двойного угла: sin 2α = 2 sin α · cos α, отсюда sin α · cos α = ½ sin 2α.
• Основное тождество: sin²α + cos²α = 1; формулы приведения сводят аргумент к первой четверти.
• Свойства логарифмов: logₐ(xy) = logₐx + logₐy; logₐ(x/y) = logₐx − logₐy; logₐ xⁿ = n·logₐx; a^(logₐ b) = b.
• Свойства степеней: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Значения тригонометрических функций для углов вида π/6, π/4, π/3 полезно помнить наизусть.

Тождества, которые решают задание

• Основное тригонометрическое: sin²α + cos²α = 1.
• Двойной угол: sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 = cos²α − sin²α.
• Формулы приведения: при углах π ± α и 2π ± α функция не меняется, при π/2 ± α и 3π/2 ± α меняется на кофункцию.
• Степени: a^m · a^n = a^(m+n); (a^m)^n = a^(mn); a^(−n) = 1/a^n; a^(1/n) = ⁿ√a.
• Логарифмы: log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; log_a(x^p) = p·log_a x.
• Основное логарифмическое тождество: a^(log_a b) = b. Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a.
• Формулы сокращённого умножения: a² − b² = (a − b)(a + b); (a ± b)² = a² ± 2ab + b².
• Если в выражении есть и синус, и косинус одного угла, почти всегда помогает основное тождество или формула двойного угла.

Как решать задание 7

1. Посмотрите на структуру выражения: произведение синуса на косинус указывает на формулу двойного угла.
2. Примените преобразование, которое уменьшает количество разных функций и аргументов.
3. Сведите аргумент к табличному значению формулами приведения.
4. Доведите вычисление до числа и проверьте знак по четверти.
5. Запишите число.

Разбор примера

Частые ошибки

• Ошибаются в знаке при использовании формул приведения.
• Считают аргумент в градусах, хотя он задан в радианах.