Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения
Текст распознан с изображения задания. Формулы, таблицы и рисунки смотрите на картинке ниже.
Решение
Задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Задача с параметром
Задание 18 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «задача с параметром». Ниже вы найдёте 2 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня
Текст распознан с изображения задания. Формулы, таблицы и рисунки смотрите на картинке ниже.
Решение
Теория к заданию 18 ЕГЭ по профильной математике: задача с параметром
Задание второй части: найти все значения параметра, при которых уравнение, неравенство или система имеет заданное число решений.
Что нужно знать
- Графический метод: параметр обычно задаёт семейство прямых или окружностей, и задача сводится к подсчёту точек пересечения.
- Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей, но обязательно с учётом ОДЗ второго множителя.
- Наличие квадратного корня задаёт ограничение: подкоренное выражение неотрицательно.
- Прямая y = kx + a при изменении a перемещается параллельно самой себе, поэтому удобно искать касания и прохождение через угловые точки.
- В ответе указывают множество значений параметра, записанное промежутками или объединением.
Методы решения задач с параметром
- Аналитический: решаем уравнение относительно x, а затем накладываем условия на параметр (дискриминант, область определения, знаки).
- Графический в плоскости xOy: строим семейство графиков и смотрим, при каких a число пересечений нужное.
- Метод «a как функция x»: выражаем a через x и исследуем полученную функцию. Число решений равно числу пересечений горизонтальной прямой с её графиком.
- Симметрия: если уравнение зависит от x только через чётную функцию, корни идут парами, и единственное решение возможно лишь при x = 0.
- Квадратное уравнение: два различных корня при D > 0, один при D = 0, ни одного при D < 0; расположение корней относительно числа проверяется через знак значения и вершину.
- Модуль и корень задают точки излома и концы промежутков, и именно там меняется число решений.
- Обязательно проверяйте граничные значения параметра: их чаще всего и теряют.
- Ответ записывается множеством значений параметра, а не значениями x.
Как решать задание 18
- Найдите ОДЗ и упростите систему, разложив на множители.
- Постройте на плоскости множество точек, задаваемое первым уравнением, с учётом ОДЗ.
- Изобразите семейство линий, задаваемое параметром.
- Найдите положения, при которых число общих точек равно требуемому: касания, прохождение через концы.
- Запишите все найденные значения параметра, не пропустив граничные случаи.
Разбор примера
При каких значениях параметра a уравнение x² − 2ax + a + 6 = 0 имеет два различных корня?
- Уравнение квадратное, коэффициент при x² равен 1 и в ноль не обращается.
- Два различных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант строго положителен.
- Считаем через половинный дискриминант: D/4 = a² − (a + 6) = a² − a − 6.
- Решаем неравенство a² − a − 6 > 0. Корни: a = −2 и a = 3.
- Парабола ветвями вверх, значит неравенство верно вне корней: a < −2 или a > 3.
Ответa ∈ (−∞; −2) ∪ (3; +∞)
Частые ошибки
- Пишут D ≥ 0 там, где требуются именно различные корни.
- Забывают проверить случай, когда коэффициент при x² обращается в ноль и уравнение перестаёт быть квадратным.
- Теряют область определения, если в уравнении есть логарифм, корень или дробь.
- Записывают в ответ значения x вместо значений параметра.
- Не проверяют граничные значения a, при которых число решений меняется.
Задание 18 входит в ЕГЭ по профильной математике. Это единственная страница сайта, где собраны все варианты этого номера: текст условия, картинка задания, правильный ответ, разбор решения и теория с алгоритмом. Остальные номера открываются в списке выше, а их перечень с темами есть в списке заданий ЕГЭ по профильной математике.