Ответ
5
Задание 12 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Исследование функции с помощью производной
Задание 12 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «исследование функции с помощью производной». Ниже вы найдёте 4 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
Ответ
-6
Ответ
16
Ответ
-18
Теория к заданию 12 ЕГЭ по профильной математике: исследование функции с помощью производной
Нужно найти точку экстремума или наибольшее либо наименьшее значение функции на промежутке.
Что нужно знать
- Алгоритм: найти производную, приравнять нулю, определить знаки на промежутках.
- Производные: (ln x)′ = 1/x; (eˣ)′ = eˣ; (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹; (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x.
- Правила: производная суммы равна сумме производных; (u·v)′ = u′v + uv′; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
- Обязательно учитывается область определения: у ln(x − 4) это x > 4.
- Наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка.
Производные, которые нужно помнить
- (x^n)′ = n·x^(n−1), (√x)′ = 1/(2√x), (1/x)′ = −1/x².
- (e^x)′ = e^x, (a^x)′ = a^x·ln a, (ln x)′ = 1/x, (log_a x)′ = 1/(x·ln a).
- (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/cos²x.
- Произведение: (uv)′ = u′v + uv′. Частное: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
- Сложная функция: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x).
- Наибольшее и наименьшее значение на отрезке ищется среди критических точек внутри отрезка и его концов.
- На промежутке без концов достаточно найти единственный экстремум: он и будет ответом.
- Если производная не обращается в ноль на отрезке, функция монотонна, и ответ достигается на одном из концов.
Как решать задание 12
- Запишите область определения функции.
- Найдите производную и приравняйте её к нулю.
- Расставьте знаки производной на числовой прямой с учётом области определения.
- Выберите точку, где знак меняется с плюса на минус, если ищется максимум.
- Если требуется значение функции, подставьте найденную точку в исходную формулу.
Разбор примера
Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 3x² на отрезке [1; 4].
- Находим производную: y′ = 3x² − 6x.
- Приравниваем к нулю: 3x(x − 2) = 0, откуда x = 0 и x = 2.
- Из них отрезку [1; 4] принадлежит только x = 2.
- Считаем значения в критической точке и на концах: y(1) = 1 − 3 = −2; y(2) = 8 − 12 = −4; y(4) = 64 − 48 = 16.
- Наименьшее из чисел −2, −4 и 16 равно −4.
Ответ−4
Частые ошибки
- Дают значение функции, когда спрашивают точку максимума, и наоборот.
- Не учитывают область определения и получают посторонний корень.
Задание 12 входит в ЕГЭ по профильной математике. На этой странице собраны все варианты этого номера, которые разобраны на сайте: условие, правильный ответ и разбор решения. Остальные номера открываются в списке выше, а целиком все задания ЕГЭ по профильной математике с ответами собраны на странице предмета.