Решение
Задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Числа и их свойства
Задание 19 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «числа и их свойства». Ниже вы найдёте 2 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом. Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013? Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
Текст распознан с изображения задания. Формулы, таблицы и рисунки смотрите на картинке ниже.
Решение
Теория к заданию 19 ЕГЭ по профильной математике: числа и их свойства
Задание второй части из трёх пунктов: пример, доказательство невозможности и поиск экстремального значения.
Что нужно знать
- Пункт «а» требует привести пример: достаточно конкретной последовательности действий или набора чисел.
- Пункт «б» обычно решается через инвариант: величину, которая не меняется при разрешённых операциях (это может быть сумма, разность, остаток от деления, чётность).
- Для операции (a; b) → (a + b; a − b) полезны инварианты: сумма квадратов удваивается, чётность обоих чисел сохраняется.
- Пункт «в» требует оценки и примера: доказать, что меньше нельзя, и предъявить достижимый случай.
- Основные инструменты таких задач: чётность, делимость и остатки по модулю.
Инструменты для задач на числа
- Признаки делимости: на 3 и 9 проверяют по сумме цифр, на 4 по двум последним цифрам, на 8 по трём последним, на 11 по знакочередующейся сумме цифр.
- Остатки: если a и b дают одинаковые остатки при делении на n, их разность делится на n.
- Разложение на множители и формулы сокращённого умножения часто сразу дают ограничение на делители.
- Оценка обязательна в пункте в: сначала доказываем, что больше (меньше) быть не может, затем приводим пример.
- Пример в пункте а достаточно предъявить и проверить, а доказывать, что он единственный, не нужно.
- Принцип Дирихле помогает в пунктах о невозможности: если предметов больше, чем ящиков, в каком-то ящике их не меньше двух.
- Сумма арифметической прогрессии: S = (a₁ + aₙ)·n/2. Она часто нужна при работе с наборами последовательных чисел.
- Задание оценивается по пунктам: за а дают 1 балл, за б 1 балл, за в 2 балла, поэтому имеет смысл решать даже частично.
Как решать задание 19
- В пункте «а» не доказывайте общее утверждение: достаточно предъявить пример и проверить его.
- В пункте «б» ищите величину, которая сохраняется или меняется предсказуемо при каждом ходе.
- Сравните значение инварианта в начале и в требуемом конце: их несовпадение доказывает невозможность.
- В пункте «в» сначала докажите оценку, затем постройте пример, на котором она достигается.
- Оформите каждый пункт отдельно, потому что они оцениваются независимо.
Разбор примера
Найдите наибольшее трёхзначное число, которое делится на 9 и все цифры которого различны.
- Наибольшее трёхзначное число равно 999, поэтому идём вниз от него.
- Признак делимости на 9: сумма цифр должна делиться на 9.
- Числа 999, 998, 997, 996 отпадают или по сумме цифр, или по повтору цифр.
- Проверяем числа вида 98x: сумма 9 + 8 + x = 17 + x должна делиться на 9, значит x = 1.
- Получаем 981: сумма цифр 18 делится на 9, все цифры различны.
- Числа между 981 и 990 с различными цифрами суммы, кратной 9, не дают, значит наибольшим будет 981.
Ответ981
Частые ошибки
- Приводят пример, но не доказывают, что большего (меньшего) значения не существует.
- В пункте в дают только оценку без примера и получают половину баллов.
- Проверяют делимость перебором вместо признаков и не успевают.
- Считают, что «различные цифры» допускает ноль в старшем разряде.
- Оформляют решение обрывочно: эксперт оценивает записанное рассуждение, а не ход мысли.
Задание 19 входит в ЕГЭ по профильной математике. Это единственная страница сайта, где собраны все варианты этого номера: текст условия, картинка задания, правильный ответ, разбор решения и теория с алгоритмом. Остальные номера открываются в списке выше, а их перечень с темами есть в списке заданий ЕГЭ по профильной математике.