Задание 19 ЕГЭ по профильной математике

Теория к заданию 19 ЕГЭ по профильной математике: числа и их свойства

Задание второй части из трёх пунктов: пример, доказательство невозможности и поиск экстремального значения.

Что нужно знать

• Пункт «а» требует привести пример: достаточно конкретной последовательности действий или набора чисел.
• Пункт «б» обычно решается через инвариант: величину, которая не меняется при разрешённых операциях (это может быть сумма, разность, остаток от деления, чётность).
• Для операции (a; b) → (a + b; a − b) полезны инварианты: сумма квадратов удваивается, чётность обоих чисел сохраняется.
• Пункт «в» требует оценки и примера: доказать, что меньше нельзя, и предъявить достижимый случай.
• Основные инструменты таких задач: чётность, делимость и остатки по модулю.

Инструменты для задач на числа

• Признаки делимости: на 3 и 9 проверяют по сумме цифр, на 4 по двум последним цифрам, на 8 по трём последним, на 11 по знакочередующейся сумме цифр.
• Остатки: если a и b дают одинаковые остатки при делении на n, их разность делится на n.
• Разложение на множители и формулы сокращённого умножения часто сразу дают ограничение на делители.
• Оценка обязательна в пункте в: сначала доказываем, что больше (меньше) быть не может, затем приводим пример.
• Пример в пункте а достаточно предъявить и проверить, а доказывать, что он единственный, не нужно.
• Принцип Дирихле помогает в пунктах о невозможности: если предметов больше, чем ящиков, в каком-то ящике их не меньше двух.
• Сумма арифметической прогрессии: S = (a₁ + aₙ)·n/2. Она часто нужна при работе с наборами последовательных чисел.
• Задание оценивается по пунктам: за а дают 1 балл, за б 1 балл, за в 2 балла, поэтому имеет смысл решать даже частично.

Как решать задание 19

1. В пункте «а» не доказывайте общее утверждение: достаточно предъявить пример и проверить его.
2. В пункте «б» ищите величину, которая сохраняется или меняется предсказуемо при каждом ходе.
3. Сравните значение инварианта в начале и в требуемом конце: их несовпадение доказывает невозможность.
4. В пункте «в» сначала докажите оценку, затем постройте пример, на котором она достигается.
5. Оформите каждый пункт отдельно, потому что они оцениваются независимо.

Разбор примера

Частые ошибки

• Приводят пример, но не доказывают, что большего (меньшего) значения не существует.
• В пункте в дают только оценку без примера и получают половину баллов.
• Проверяют делимость перебором вместо признаков и не успевают.
• Считают, что «различные цифры» допускает ноль в старшем разряде.
• Оформляют решение обрывочно: эксперт оценивает записанное рассуждение, а не ход мысли.