Решение
Задание 15 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Неравенства
Задание 15 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «неравенства». Ниже вы найдёте 2 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
Решение
Теория к заданию 15 ЕГЭ по профильной математике: неравенства
Задание второй части: решить логарифмическое, показательное или дробно-рациональное неравенство.
Что нужно знать
- Основной метод решения: метод интервалов после приведения неравенства к виду «дробь или произведение сравнивается с нулём».
- ОДЗ логарифма: подлогарифмическое выражение строго больше нуля, основание положительно и не равно единице.
- При основании больше 1 знак неравенства между логарифмами сохраняется, а при основании от 0 до 1 меняется.
- Осторожно с логарифмом квадрата: log x² = 2 log |x|, а не 2 log x.
- Замена переменной (t = log₂ x) часто превращает неравенство в квадратное.
Правила равносильных переходов
- Показательное неравенство: при основании a > 1 знак сохраняется, при 0 < a < 1 знак меняется на противоположный.
- Логарифмическое неравенство: то же правило по основанию, плюс обязательная область определения: подлогарифмическое выражение строго больше нуля.
- Дробно-рациональное неравенство решается методом интервалов после приведения к виду «дробь ≥ 0»; переносить знаменатель умножением нельзя.
- Метод интервалов: находим нули числителя и знаменателя, отмечаем на прямой (нули знаменателя всегда выколоты), расставляем знаки.
- При чётной кратности корня знак не меняется, при нечётной меняется.
- Неравенство с модулем: |f| < a равносильно −a < f < a; |f| > a равносильно f < −a или f > a.
- Замена переменной в показательных неравенствах: t = a^x, причём t > 0, и это ограничение часто отсекает лишний промежуток.
- Ответ записывается промежутками; следите, где скобка круглая, а где квадратная.
Как решать задание 15
- Запишите ОДЗ до любых преобразований.
- Сделайте замену переменной, если выражение однотипное.
- Приведите к виду «выражение ≥ 0» и разложите на множители.
- Примените метод интервалов и найдите знаки на каждом промежутке.
- Пересеките полученное множество с ОДЗ и запишите ответ промежутками.
Разбор примера
Решите неравенство log₂(x² − 3x) ≤ 2.
- Записываем область определения: x² − 3x > 0, то есть x(x − 3) > 0, откуда x < 0 или x > 3.
- Основание логарифма 2 больше единицы, значит знак неравенства сохраняется: x² − 3x ≤ 2² = 4.
- Решаем: x² − 3x − 4 ≤ 0, корни −1 и 4, значит −1 ≤ x ≤ 4.
- Пересекаем с областью определения: с промежутком x < 0 получаем [−1; 0), с промежутком x > 3 получаем (3; 4].
- Записываем объединение промежутков.
Ответ[−1; 0) ∪ (3; 4]
Частые ошибки
- Забывают область определения логарифма и включают в ответ лишние промежутки.
- Не меняют знак неравенства при основании меньше единицы.
- Умножают обе части дробного неравенства на знаменатель, не зная его знака.
- Ставят квадратную скобку у выколотой точки, то есть у нуля знаменателя.
- После замены переменной забывают условие t > 0.
Задание 15 входит в ЕГЭ по профильной математике. На этой странице собраны все варианты этого номера, которые разобраны на сайте: условие, правильный ответ и разбор решения. Остальные номера открываются в списке выше, а целиком все задания ЕГЭ по профильной математике с ответами собраны на странице предмета.