Решение
Задание 13 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Тригонометрическое уравнение с отбором корней
Задание 13 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «тригонометрическое уравнение с отбором корней». Ниже вы найдёте 2 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
Решение
Теория к заданию 13 ЕГЭ по профильной математике: тригонометрическое уравнение с отбором корней
Задание второй части: решить уравнение и отобрать корни, принадлежащие заданному отрезку.
Что нужно знать
- Основной приём: перенести все слагаемые в одну часть и разложить на множители. Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей.
- Формулы корней: sin x = a → x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn; cos x = a → x = ±arccos a + 2πn; tg x = a → x = arctg a + πn.
- Обязательно учитывайте ОДЗ, если делили на выражение с переменной: деление на sin x или cos x теряет корни.
- Отбор корней делают двойным неравенством по n или на единичной окружности.
- Ответом в пункте «б» будут конкретные числа, а не серии.
Серии решений и отбор корней
- sin x = a: x = (−1)^k·arcsin a + πk. Удобнее записывать двумя сериями: x = arcsin a + 2πk и x = π − arcsin a + 2πk.
- cos x = a: x = ±arccos a + 2πk. tg x = a: x = arctg a + πk.
- Частные случаи: sin x = 0 даёт x = πk; sin x = 1 даёт x = π/2 + 2πk; sin x = −1 даёт x = −π/2 + 2πk; cos x = 0 даёт x = π/2 + πk; cos x = 1 даёт x = 2πk; cos x = −1 даёт x = π + 2πk.
- Замена переменной работает, если всё уравнение сводится к одной функции: обозначьте t = sin x и решите квадратное уравнение, помня, что |t| ≤ 1.
- Однородное уравнение вида a·sin²x + b·sin x·cos x + c·cos²x = 0 делится на cos²x и превращается в квадратное относительно tg x.
- Отбор корней двойным неравенством: подставьте серию в неравенство для отрезка и найдите целые k.
- Отбор по окружности нагляднее, если отрезок короче 2π; двойное неравенство надёжнее, если длиннее.
- Если уравнение содержало тангенс, дробь или корень, обязательно запишите область определения и выбросьте корни, которые в неё не попали.
Как решать задание 13
- Приведите уравнение к одной функции или разложите на множители.
- Решите каждое простейшее уравнение и запишите серии корней.
- Для каждой серии подставьте её в двойное неравенство с границами отрезка.
- Найдите целые значения n и вычислите соответствующие корни.
- Выпишите отдельно ответ к пункту «а» и к пункту «б».
Разбор примера
Решите уравнение 2sin²x + sin x − 1 = 0 и найдите его корни на отрезке [−5π/2; −π].
- Делаем замену t = sin x: получаем 2t² + t − 1 = 0.
- Решаем: D = 1 + 8 = 9, t = (−1 ± 3)/4, то есть t = 0,5 и t = −1.
- Возвращаемся к переменной x. Из sin x = 0,5 получаем серии x = π/6 + 2πk и x = 5π/6 + 2πk; из sin x = −1 получаем x = −π/2 + 2πk.
- Отбираем корни на отрезке [−5π/2; −π], то есть примерно от −7,85 до −3,14.
- Из первой серии при k = −1 получаем π/6 − 2π = −11π/6 ≈ −5,76, это число подходит. Из второй при k = −1 получаем 5π/6 − 2π = −7π/6 ≈ −3,67, тоже подходит.
- Из третьей серии при k = −1 получаем −π/2 − 2π = −5π/2 ≈ −7,85. Это левый конец отрезка, он включён, значит корень подходит.
Ответ−5π/2; −11π/6; −7π/6
Частые ошибки
- Теряют одну из серий при переходе от sin x = a к общему решению.
- Отбирают корни на глаз, не подставляя целые значения k.
- Не включают концы отрезка, хотя скобки квадратные.
- Забывают область определения, если в уравнении были тангенс или дробь.
- Записывают ответ в градусах, хотя отрезок задан в радианах.
Задание 13 входит в ЕГЭ по профильной математике. На этой странице собраны все варианты этого номера, которые разобраны на сайте: условие, правильный ответ и разбор решения. Остальные номера открываются в списке выше, а целиком все задания ЕГЭ по профильной математике с ответами собраны на странице предмета.