Решение
Задание 17 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Планиметрия с доказательством
Задание 17 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «планиметрия с доказательством». Ниже вы найдёте 2 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
Решение
Теория к заданию 17 ЕГЭ по профильной математике: планиметрия с доказательством
Задание второй части: доказать утверждение о фигуре и найти длину, угол или площадь.
Что нужно знать
- Вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны. Это базовый инструмент задач с окружностью.
- Равные хорды стягивают равные дуги, и наоборот.
- Теорема Птолемея для вписанного четырёхугольника: произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
- Подобие треугольников даёт пропорции сторон; чаще всего используют признак подобия по двум углам.
- В пункте «а» нужно доказательство, оно оценивается отдельно от вычислительного пункта «б».
Что чаще всего доказывают
- Вписанный четырёхугольник: суммы противоположных углов равны 180°. Обратное тоже верно и служит признаком.
- Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны.
- Подобие треугольников по двум углам чаще всего служит для доказательства пропорций.
- Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.
- Свойство биссектрисы: делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.
- Теорема о пересекающихся хордах и о секущих даёт равенства произведений отрезков.
- Точка пересечения медиан делит каждую в отношении 2 : 1, считая от вершины.
- Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению оснований, а с общим углом равно отношению произведений прилежащих сторон.
Как решать задание 17
- Постройте чертёж в масштабе и отметьте равные элементы.
- В пункте «а» ищите равные дуги, равные вписанные углы или равные треугольники.
- Для пункта «б» подберите теорему, связывающую известные и искомые отрезки.
- Проверьте вычисления и правдоподобие ответа по чертежу.
- Оформите доказательство и вычисление раздельно.
Разбор примера
Как устроено решение на максимальный балл (общая схема, а не конкретная задача).
- Пункт а. Делаем аккуратный чертёж и отмечаем на нём всё, что дано.
- Ищем на чертеже пары подобных треугольников или вписанные углы, опирающиеся на одну дугу: на них держится большинство доказательств.
- Записываем доказательство цепочкой равенств с обоснованием каждого перехода.
- Пункт б. Используем доказанное соотношение и переходим к вычислению через теорему синусов, косинусов или формулу площади.
- Если фигура вписана в окружность, почти всегда пригодится теорема синусов с 2R.
- Записываем ответ отдельной строкой; за пункт б без пункта а ставится 1 балл из 3.
Ответ1 балл за пункт а, 2 балла за пункт б
Частые ошибки
- Строят чертёж «в общем положении», где нужное свойство случайно выполняется, и принимают его за доказанное.
- Используют в пункте а то, что требуется доказать.
- Рассматривают только одну конфигурацию, хотя точка может лежать и по другую сторону прямой.
- Обозначают равные углы на чертеже, но не объясняют словами, почему они равны.
- Забывают проверить, существует ли фигура при найденных значениях.
Задание 17 входит в ЕГЭ по профильной математике. На этой странице собраны все варианты этого номера, которые разобраны на сайте: условие, правильный ответ и разбор решения. Остальные номера открываются в списке выше, а целиком все задания ЕГЭ по профильной математике с ответами собраны на странице предмета.