Задание 3 ЕГЭ по профильной математике

Теория к заданию 3 ЕГЭ по профильной математике: стереометрия

Задача на объёмы и площади поверхностей многогранников и тел вращения, часто на отношение величин.

Что нужно знать

• Объёмы: призма и цилиндр: S·h; пирамида и конус: ⅓·S·h; шар: 4/3·πR³.
• Цилиндр: V = πR²h; при изменении радиуса в k раз объём меняется в k² раз, при изменении высоты в k раз объём меняется тоже в k раз.
• Подобие тел: линейные размеры в k раз → площади в k², объёмы в k³ раз.
• Площадь поверхности цилиндра: 2πR² + 2πRh; конуса: πR² + πRl.
• В задачах на отношение удобно не считать величины, а сразу записать отношение через коэффициенты.

Объёмы и площади поверхностей

• Призма: V = S·h, где S обозначает площадь основания. Цилиндр: V = πR²h, боковая поверхность 2πRh.
• Пирамида и конус: V = (1/3)S·h. Боковая поверхность конуса πRl, где l обозначает образующую.
• Шар: V = (4/3)πR³, площадь сферы 4πR².
• Подобные тела: если линейные размеры относятся как k, то площади относятся как k², а объёмы как k³.
• Изменение одного измерения в n раз меняет объём в n раз, а изменение двух измерений меняет его в n² раз.
• Объём наклонной призмы тоже равен произведению площади основания на высоту, а не на боковое ребро.
• Диагональ прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c².
• Пирамида, отсечённая плоскостью, параллельной основанию, подобна исходной.

Как решать задание 3

1. Выпишите формулу объёма или площади нужного тела.
2. Обозначьте размеры первого тела буквами, а размеры второго выразите через коэффициенты из условия.
3. Составьте отношение и сократите: числовые величины обычно не нужны.
4. Проверьте, в каком порядке требуется отношение: второго к первому или наоборот.
5. Запишите число, при необходимости в виде десятичной дроби.

Разбор примера

Частые ошибки

• Меняют местами числитель и знаменатель в отношении.
• Забывают, что «шире в полтора раза» относится к диаметру, а в формулу входит квадрат радиуса.