Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой
Текст распознан с изображения задания. Формулы, таблицы и рисунки смотрите на картинке ниже.
Ответ
1,125
Задание 3 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Стереометрия
Задание 3 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «стереометрия». Ниже вы найдёте 4 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
Ответ
36
Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Текст распознан с изображения задания. Формулы, таблицы и рисунки смотрите на картинке ниже.
Ответ
104
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Найдите радиус сферы
Текст распознан с изображения задания. Формулы, таблицы и рисунки смотрите на картинке ниже.
Ответ
9
Теория к заданию 3 ЕГЭ по профильной математике: стереометрия
Задача на объёмы и площади поверхностей многогранников и тел вращения, часто на отношение величин.
Что нужно знать
- Объёмы: призма и цилиндр: S·h; пирамида и конус: ⅓·S·h; шар: 4/3·πR³.
- Цилиндр: V = πR²h; при изменении радиуса в k раз объём меняется в k² раз, при изменении высоты в k раз объём меняется тоже в k раз.
- Подобие тел: линейные размеры в k раз → площади в k², объёмы в k³ раз.
- Площадь поверхности цилиндра: 2πR² + 2πRh; конуса: πR² + πRl.
- В задачах на отношение удобно не считать величины, а сразу записать отношение через коэффициенты.
Объёмы и площади поверхностей
- Призма: V = S·h, где S обозначает площадь основания. Цилиндр: V = πR²h, боковая поверхность 2πRh.
- Пирамида и конус: V = (1/3)S·h. Боковая поверхность конуса πRl, где l обозначает образующую.
- Шар: V = (4/3)πR³, площадь сферы 4πR².
- Подобные тела: если линейные размеры относятся как k, то площади относятся как k², а объёмы как k³.
- Изменение одного измерения в n раз меняет объём в n раз, а изменение двух измерений меняет его в n² раз.
- Объём наклонной призмы тоже равен произведению площади основания на высоту, а не на боковое ребро.
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c².
- Пирамида, отсечённая плоскостью, параллельной основанию, подобна исходной.
Как решать задание 3
- Выпишите формулу объёма или площади нужного тела.
- Обозначьте размеры первого тела буквами, а размеры второго выразите через коэффициенты из условия.
- Составьте отношение и сократите: числовые величины обычно не нужны.
- Проверьте, в каком порядке требуется отношение: второго к первому или наоборот.
- Запишите число, при необходимости в виде десятичной дроби.
Разбор примера
Объём конуса равен 12. Высоту увеличили в 3 раза, а радиус основания уменьшили в 2 раза. Найдите объём получившегося конуса.
- Записываем формулу: V = (1/3)πR²h.
- Новый радиус равен R/2, новая высота равна 3h.
- Подставляем: V′ = (1/3)π(R/2)²·3h = (1/3)π·(R²/4)·3h.
- Упрощаем: множители 1/4 и 3 дают 3/4, значит V′ = (3/4)·(1/3)πR²h = 0,75V.
- Считаем: 0,75 · 12 = 9.
Ответ9
Частые ошибки
- Меняют местами числитель и знаменатель в отношении.
- Забывают, что «шире в полтора раза» относится к диаметру, а в формулу входит квадрат радиуса.
Задание 3 входит в ЕГЭ по профильной математике. Это единственная страница сайта, где собраны все варианты этого номера: текст условия, картинка задания, правильный ответ, разбор решения и теория с алгоритмом. Остальные номера открываются в списке выше, а их перечень с темами есть в списке заданий ЕГЭ по профильной математике.