Задание 5 ЕГЭ по профильной математике

Теория к заданию 5 ЕГЭ по профильной математике. Теория вероятностей: сложные события

Задача на сложение и умножение вероятностей, независимые события и переход к противоположному событию.

Что нужно знать

• Независимые события: P(A и B) = P(A)·P(B).
• Несовместные события: P(A или B) = P(A) + P(B).
• Формулировка «хотя бы один» почти всегда решается через противоположное событие: P = 1 − P(ни одного).
• Вероятность того, что все три лампы перегорят, равна произведению трёх вероятностей.
• Формула полной вероятности: P(A) = P(H₁)·P(A|H₁) + P(H₂)·P(A|H₂).

Правила сложения и умножения

• Умножение: для независимых событий P(A и B) = P(A) · P(B).
• Сложение: для несовместных событий P(A или B) = P(A) + P(B).
• Общий случай сложения: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B).
• «Хотя бы один» почти всегда решается через противоположное событие: P = 1 − P(ни одного).
• Условная вероятность: P(B при A) = P(A и B) / P(A). Она пригодится, когда исходы зависят друг от друга.
• Формула полной вероятности: P(A) = P(H₁)·P(A при H₁) + P(H₂)·P(A при H₂) + ...
• Если в задаче есть слова «и», «оба», «подряд», это умножение; если «или», «хотя бы», «либо», это сложение или переход к противоположному.

Как решать задание 5

1. Определите, зависимы события или нет.
2. Если в условии есть «хотя бы один», сразу переходите к противоположному событию.
3. Постройте формулу и подставьте вероятности.
4. Проверьте, что результат лежит между 0 и 1.
5. Запишите десятичную дробь без округления, если условие не требует иного.

Разбор примера

Частые ошибки

• Складывают вероятности там, где события независимы и нужно умножение.
• Считают «хотя бы одна не перегорит» как «ровно одна не перегорит».