Ответ
61
Задание 1 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Планиметрия
Задание 1 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «планиметрия». Ниже вы найдёте 4 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
Ответ
18
Ответ
40
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей
Текст распознан с изображения задания. Формулы, таблицы и рисунки смотрите на картинке ниже.
Ответ
5
Теория к заданию 1 ЕГЭ по профильной математике: планиметрия
Задача по геометрии на плоскости: углы, треугольники, четырёхугольники, окружность. Ответ записывается числом.
Что нужно знать
- Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается; вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
- Вписанный четырёхугольник: суммы противоположных углов равны 180°.
- Сумма углов треугольника равна 180°, а выпуклого n-угольника равна 180°·(n − 2).
- Теорема синусов: a/sin A = 2R; теорема косинусов: a² = b² + c² − 2bc·cos A.
- Площади: треугольник: ½·a·h и ½·ab·sin γ; трапеция: полусумма оснований на высоту; параллелограмм: a·h.
- Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
Формулы, которые нужны чаще всего
- Площадь треугольника: S = ah/2 = (1/2)ab·sin C = pr = abc/(4R), где p обозначает полупериметр, r и R обозначают радиусы вписанной и описанной окружностей.
- Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
- Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos C.
- Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу; вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
- Свойство касательной: касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных из одной точки равны.
- Пересекающиеся хорды: AE·EB = CE·ED. Секущие из одной точки: PA·PB = PC·PD.
- Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине; средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
- Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: S = d₁d₂/2 (ромб, квадрат).
- Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна её половине.
Как решать задание 1
- Перечертите рисунок и отметьте на нём все данные из условия.
- Найдите, на чём держится решение: вписанный угол, подобие, равнобедренный треугольник.
- Выразите искомый угол или отрезок через известные, двигаясь по цепочке равенств.
- Проверьте результат на правдоподобие: угол не бывает больше 180°, а сторона не бывает отрицательной.
- Запишите только число, без единиц измерения.
Разбор примера
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, sin A = 0,6. Найдите BC.
- Угол C прямой, значит гипотенузой будет AB, а катетами BC и AC.
- Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
- Углу A противолежит катет BC, значит sin A = BC / AB.
- Подставляем: 0,6 = BC / 10.
- Отсюда BC = 0,6 · 10 = 6.
Ответ6
Частые ошибки
- Считают вписанный угол равным дуге, а не её половине.
- Достраивают на глаз то, чего нет в условии: равенство сторон или перпендикулярность.
Задание 1 входит в ЕГЭ по профильной математике. Это единственная страница сайта, где собраны все варианты этого номера: текст условия, картинка задания, правильный ответ, разбор решения и теория с алгоритмом. Остальные номера открываются в списке выше, а их перечень с темами есть в списке заданий ЕГЭ по профильной математике.