Задание 16 ЕГЭ по профильной математике

Что проверяет: Экономическая задача

Задание 16 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «экономическая задача». Ниже вы найдёте 2 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей

Текст распознан с изображения задания. Формулы, таблицы и рисунки смотрите на картинке ниже.

ЕГЭ по профильной математике: задание 16, условие

Решение

Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно А, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?

Текст распознан с изображения задания. Формулы, таблицы и рисунки смотрите на картинке ниже.

ЕГЭ по профильной математике: задание 16, вариант 2, условие

Решение

Теория к заданию 16 ЕГЭ по профильной математике: экономическая задача

Задание второй части: кредит, вклад или оптимальный выбор. Нужно построить модель платежей и найти неизвестную величину.

Что нужно знать

Начисление процентов: долг умножается на коэффициент (1 + r/100).
Дифференцированные платежи: долг убывает на одну и ту же величину, платежи уменьшаются.
Аннуитетные платежи: платёж одинаков, используется формула суммы геометрической прогрессии.
Сумма всех выплат равна сумме долга и всех начисленных процентов. Именно это соотношение часто и даёт уравнение.
Если долг убывает равномерно, сумма процентов считается как арифметическая прогрессия.

Три типа экономической задачи

Вклад со сложными процентами: через n лет сумма равна S·(1 + p/100)^n.
Кредит с аннуитетными платежами (равные платежи): долг каждый месяц умножается на коэффициент (1 + p/100), затем вычитается платёж. Сумма выплат равна платёж × число платежей.
Кредит с дифференцированными платежами (долг убывает равными долями): проценты начисляются на остаток, общая переплата равна p/100 · S · (n + 1)/2.
Оптимальный выбор: составляется функция прибыли или затрат, затем ищется её экстремум, обычно через вершину параболы или производную.
Полезно составить таблицу по годам: долг на начало, начисленные проценты, платёж, долг на конец.
Проценты за период начисляются до внесения платежа, если в условии не сказано иначе.
Если ответ получается дробным, а по смыслу нужны целые рубли или целые единицы товара, округляйте в ту сторону, которая не нарушает условие.
Проверяйте ответ обратным счётом: подставьте найденную величину в модель и убедитесь, что долг гасится в срок.

Как решать задание 16

Составьте таблицу по годам: долг на начало, начисление, платёж, долг на конец.
Обозначьте неизвестное и выразите долг каждого года через него.
Используйте условия задачи как уравнения: заданный долг в конкретный год, полная выплата к сроку.
Составьте уравнение для суммы всех платежей и решите его.
Проверьте, что найденная величина целая, если это требуется условием.

Разбор примера

Кредит 1 200 000 рублей взят на 2 года под 10% годовых. Долг гасится равными долями основного долга в конце каждого года, проценты начисляются на остаток. Какую сумму выплатит заёмщик всего?

Основной долг гасится равными долями за 2 года: по 1 200 000 : 2 = 600 000 рублей в год.
Первый год: проценты начисляются на весь долг, получаем 10% от 1 200 000 = 120 000 рублей.
После первого платежа остаток долга равен 1 200 000 − 600 000 = 600 000 рублей.
Второй год: проценты начисляются на остаток, получаем 10% от 600 000 = 60 000 рублей.
Складываем: основной долг 1 200 000 плюс проценты 120 000 + 60 000 = 180 000.
Всего заёмщик выплатит 1 380 000 рублей.

Ответ1 380 000 рублей

Частые ошибки

Начисляют проценты на первоначальную сумму, а не на остаток долга.
Путают аннуитетную схему (равные платежи) с дифференцированной (равные доли долга).
Округляют промежуточные величины и получают расхождение в тысячах рублей.
Забывают, что в задаче на оптимальный выбор ответ должен быть целым числом единиц товара.
Не проверяют, что к концу срока долг стал ровно нулевым.

Задание 16 входит в ЕГЭ по профильной математике. Это единственная страница сайта, где собраны все варианты этого номера: текст условия, картинка задания, правильный ответ, разбор решения и теория с алгоритмом. Остальные номера открываются в списке выше, а их перечень с темами есть в списке заданий ЕГЭ по профильной математике.