Решение
Задание 16 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Экономическая задача
Задание 16 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «экономическая задача». Ниже вы найдёте 2 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
Решение
Теория к заданию 16 ЕГЭ по профильной математике: экономическая задача
Задание второй части: кредит, вклад или оптимальный выбор. Нужно построить модель платежей и найти неизвестную величину.
Что нужно знать
- Начисление процентов: долг умножается на коэффициент (1 + r/100).
- Дифференцированные платежи: долг убывает на одну и ту же величину, платежи уменьшаются.
- Аннуитетные платежи: платёж одинаков, используется формула суммы геометрической прогрессии.
- Сумма всех выплат равна сумме долга и всех начисленных процентов. Именно это соотношение часто и даёт уравнение.
- Если долг убывает равномерно, сумма процентов считается как арифметическая прогрессия.
Три типа экономической задачи
- Вклад со сложными процентами: через n лет сумма равна S·(1 + p/100)^n.
- Кредит с аннуитетными платежами (равные платежи): долг каждый месяц умножается на коэффициент (1 + p/100), затем вычитается платёж. Сумма выплат равна платёж × число платежей.
- Кредит с дифференцированными платежами (долг убывает равными долями): проценты начисляются на остаток, общая переплата равна p/100 · S · (n + 1)/2.
- Оптимальный выбор: составляется функция прибыли или затрат, затем ищется её экстремум, обычно через вершину параболы или производную.
- Полезно составить таблицу по годам: долг на начало, начисленные проценты, платёж, долг на конец.
- Проценты за период начисляются до внесения платежа, если в условии не сказано иначе.
- Если ответ получается дробным, а по смыслу нужны целые рубли или целые единицы товара, округляйте в ту сторону, которая не нарушает условие.
- Проверяйте ответ обратным счётом: подставьте найденную величину в модель и убедитесь, что долг гасится в срок.
Как решать задание 16
- Составьте таблицу по годам: долг на начало, начисление, платёж, долг на конец.
- Обозначьте неизвестное и выразите долг каждого года через него.
- Используйте условия задачи как уравнения: заданный долг в конкретный год, полная выплата к сроку.
- Составьте уравнение для суммы всех платежей и решите его.
- Проверьте, что найденная величина целая, если это требуется условием.
Разбор примера
Кредит 1 200 000 рублей взят на 2 года под 10% годовых. Долг гасится равными долями основного долга в конце каждого года, проценты начисляются на остаток. Какую сумму выплатит заёмщик всего?
- Основной долг гасится равными долями за 2 года: по 1 200 000 : 2 = 600 000 рублей в год.
- Первый год: проценты начисляются на весь долг, получаем 10% от 1 200 000 = 120 000 рублей.
- После первого платежа остаток долга равен 1 200 000 − 600 000 = 600 000 рублей.
- Второй год: проценты начисляются на остаток, получаем 10% от 600 000 = 60 000 рублей.
- Складываем: основной долг 1 200 000 плюс проценты 120 000 + 60 000 = 180 000.
- Всего заёмщик выплатит 1 380 000 рублей.
Ответ1 380 000 рублей
Частые ошибки
- Начисляют проценты на первоначальную сумму, а не на остаток долга.
- Путают аннуитетную схему (равные платежи) с дифференцированной (равные доли долга).
- Округляют промежуточные величины и получают расхождение в тысячах рублей.
- Забывают, что в задаче на оптимальный выбор ответ должен быть целым числом единиц товара.
- Не проверяют, что к концу срока долг стал ровно нулевым.
Задание 16 входит в ЕГЭ по профильной математике. На этой странице собраны все варианты этого номера, которые разобраны на сайте: условие, правильный ответ и разбор решения. Остальные номера открываются в списке выше, а целиком все задания ЕГЭ по профильной математике с ответами собраны на странице предмета.