Задание 2 ЕГЭ по профильной математике

Теория к заданию 2 ЕГЭ по профильной математике: векторы

Действия с векторами на координатной плоскости: координаты, длина, скалярное произведение, угол.

Что нужно знать

• Координаты вектора: из координат конца вычитаются координаты начала.
• Длина вектора |a| = √(x² + y²).
• Скалярное произведение в координатах: a·b = x₁x₂ + y₁y₂; через длины: a·b = |a|·|b|·cos φ.
• Векторы перпендикулярны, когда скалярное произведение равно нулю; коллинеарны, когда координаты пропорциональны.
• Сложение и вычитание векторов выполняются покоординатно.

Векторы в координатах

• Координаты вектора по концам: AB = (x_B − x_A; y_B − y_A).
• Длина вектора: |a| = √(x² + y²).
• Сумма и разность: складываются и вычитаются соответствующие координаты.
• Скалярное произведение: a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a|·|b|·cos φ.
• Перпендикулярность: векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• Коллинеарность: x₁y₂ − x₂y₁ = 0, то есть координаты пропорциональны.
• Косинус угла: cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|a|·|b|).
• Середина отрезка: её координаты равны средним арифметическим координат концов.

Как решать задание 2

1. Считайте координаты векторов по клеткам: от начала стрелки к её концу.
2. Запишите пары координат и подставьте в нужную формулу.
3. Для скалярного произведения удобнее координатная формула: в ней не нужен угол.
4. Проверьте знак: если векторы образуют тупой угол, произведение отрицательно.
5. Запишите число.

Разбор примера

Частые ошибки

• Берут координаты точки-конца вместо координат вектора.
• Путают знаки при движении вектора влево или вниз.