Задание 6 ЕГЭ по профильной математике

Теория к заданию 6 ЕГЭ по профильной математике: уравнения

Решение уравнения: линейного, квадратного, дробно-рационального, иррационального, показательного или логарифмического.

Что нужно знать

• Показательное уравнение: приводим обе части к одному основанию и приравниваем показатели; (1/3)ˣ = 3⁻ˣ.
• Логарифмическое: по определению logₐ b = c ⟺ aᶜ = b; обязательна проверка области допустимых значений.
• Иррациональное: после возведения в квадрат проверяем корни подстановкой, потому что появляются посторонние.
• Дробно-рациональное: знаменатель не равен нулю.
• Если корней несколько, в ответ идёт тот, который требует условие: больший, меньший или единственный на промежутке.

Как решать каждый тип уравнения

• Показательное: приводим к одному основанию, приравниваем показатели. a^f = a^g равносильно f = g при a > 0, a ≠ 1.
• Логарифмическое: log_a f = b равносильно f = a^b при f > 0. Обязательно проверяем область определения.
• Иррациональное: √f = g равносильно системе f = g² и g ≥ 0. Возведение в квадрат может добавить посторонние корни.
• Дробно-рациональное: приравниваем числитель к нулю и отбрасываем корни, обращающие знаменатель в ноль.
• Квадратное: D = b² − 4ac, x = (−b ± √D) / (2a). По теореме Виета x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a.
• Тригонометрическое простейшее: sin x = a даёт x = (−1)^k·arcsin a + πk; cos x = a даёт x = ±arccos a + 2πk.
• Если корней получилось несколько, а в ответ нужен один, читайте условие: обычно просят наибольший отрицательный или наименьший положительный.

Как решать задание 6

1. Определите тип уравнения и запишите ОДЗ.
2. Приведите к одному основанию или избавьтесь от логарифма, корня, дроби.
3. Решите полученное простое уравнение.
4. Проверьте корни по ОДЗ и отберите нужный по условию.
5. Запишите число.

Разбор примера

Частые ошибки

• Забывают ОДЗ логарифма и включают посторонний корень.
• Теряют знак минус в показателе при переходе к одному основанию.