Решение
Задание 14 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет: Стереометрия с доказательством
Задание 14 ЕГЭ по профильной математике проверяет тему «стереометрия с доказательством». Ниже вы найдёте 2 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
Решение
Теория к заданию 14 ЕГЭ по профильной математике: стереометрия с доказательством
Задание второй части: доказать геометрическое утверждение и вычислить длину, угол, площадь или объём.
Что нужно знать
- Признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.
- Теорема о трёх перпендикулярах связывает наклонную, её проекцию и прямую в плоскости.
- В правильном тетраэдре все рёбра равны, а отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер, перпендикулярен обоим.
- Площадь сечения удобно искать через координаты или через подобие и известные элементы.
- Пункт «а» оценивается отдельно: логически полное доказательство даёт баллы независимо от пункта «б».
Опоры для доказательства
- Признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.
- Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна её проекции.
- Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости.
- Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на плоскость.
- Угол между плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла: из точки на ребре проводим в каждой плоскости перпендикуляр к ребру.
- Расстояние от точки до плоскости удобно считать через объём: V = (1/3)S·h, откуда h = 3V/S.
- Сечение строится по правилам: точки в одной плоскости соединяем, параллельные плоскости даёт параллельные следы.
- Координатный метод избавляет от построений: вводим систему координат, находим векторы и считаем углы через скалярное произведение.
Как решать задание 14
- Сделайте аккуратный чертёж и отметьте все данные.
- В пункте «а» стройте доказательство от признаков и теорем, называя их явно.
- Для пункта «б» выберите метод: через подобие, через координаты или через площади.
- Постройте сечение, обосновав положение каждой его вершины.
- Доведите вычисление до числа и запишите ответ отдельно.
Разбор примера
Как устроено решение на максимальный балл (общая схема, а не конкретная задача).
- Пункт а. Записываем, что дано и что доказываем; делаем чертёж с обозначениями.
- Доказательство ведём ссылками на признаки и теоремы, называя их: «по признаку перпендикулярности прямой и плоскости», «по теореме о трёх перпендикулярах».
- Каждый переход обосновываем: утверждение без ссылки эксперт не засчитает.
- Пункт б. Вычисление опирается на доказанное в пункте а: так обычно и устроена эта задача.
- Выбираем метод: через треугольники и теорему косинусов либо координатный метод.
- В конце записываем ответ отдельной строкой; за верное вычисление без доказательства ставится только часть баллов.
Ответ2 балла за пункт а, 1 балл за пункт б
Частые ошибки
- Решают только пункт б, пропуская доказательство, и теряют больше половины баллов.
- Ссылаются на «очевидность» вместо признака или теоремы.
- Строят чертёж, не отражающий условие: перпендикуляр рисуют туда, где его нет.
- В координатном методе неверно выбирают начало координат и получают громоздкие числа.
- Считают угол между плоскостями как угол между любыми прямыми, а не как линейный угол двугранного.
Задание 14 входит в ЕГЭ по профильной математике. На этой странице собраны все варианты этого номера, которые разобраны на сайте: условие, правильный ответ и разбор решения. Остальные номера открываются в списке выше, а целиком все задания ЕГЭ по профильной математике с ответами собраны на странице предмета.