Ответ
24
Задание 15 ЕГЭ по информатике
Что проверяет: Логические выражения с отрезками
Задание 15 ЕГЭ по информатике проверяет тему «логические выражения с отрезками». Ниже вы найдёте 4 варианта с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10; 25] и Q = [5; 40]. Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула
(x ∈ P → x ∈ A) ∧ (x ∈ A → x ∈ Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом целом значении переменной x.
Ответ
35
Первая импликация истинна при всех x только если каждая точка P лежит в A, то есть A ⊇ [10; 25].
Вторая импликация требует обратного вложения: каждая точка A должна лежать в Q, то есть A ⊆ [5; 40].
Оба условия выполняются одновременно, когда A лежит между этими отрезками. Самый длинный такой отрезок — сам Q, его длина 40 − 5 = 35. Ответ — 35.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [20; 30] и Q = [12; 55]. Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула
(x ∈ P → x ∈ A) ∧ (x ∈ A → x ∈ Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом целом значении переменной x.
Ответ
43
Первая импликация истинна при всех x только если каждая точка P лежит в A, то есть A ⊇ [20; 30].
Вторая импликация требует обратного вложения: каждая точка A должна лежать в Q, то есть A ⊆ [12; 55].
Оба условия выполняются одновременно, когда A лежит между этими отрезками. Самый длинный такой отрезок — сам Q, его длина 55 − 12 = 43. Ответ — 43.
На числовой прямой даны два отрезка: P = [7; 19] и Q = [3; 44]. Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула
(x ∈ P → x ∈ A) ∧ (x ∈ A → x ∈ Q)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом целом значении переменной x.
Ответ
41
Первая импликация истинна при всех x только если каждая точка P лежит в A, то есть A ⊇ [7; 19].
Вторая импликация требует обратного вложения: каждая точка A должна лежать в Q, то есть A ⊆ [3; 44].
Оба условия выполняются одновременно, когда A лежит между этими отрезками. Самый длинный такой отрезок — сам Q, его длина 44 − 3 = 41. Ответ — 41.
Теория к заданию 15 ЕГЭ по информатике: логические выражения с отрезками
Нужно найти наибольшую или наименьшую длину отрезка A, при которой логическое выражение истинно при любом x.
Что нужно знать
- Импликация A → B ложна только при A = 1 и B = 0, поэтому требование «истинно всегда» означает: если A истинно, то B тоже.
- Выражение удобно преобразовать по правилу A → B = ¬A ∨ B.
- Принадлежность числовым отрезкам изображают на числовой прямой, чтобы задача стала наглядной.
- Требование «при любом x» означает, что условие должно выполняться на всей числовой прямой.
- Обычно задача сводится к тому, что отрезок A должен покрывать некоторое множество точек.
Логические выражения с отрезками
- Выражение вида (x ∈ A) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) означает: весь отрезок A должен лежать внутри объединения P и Q.
- Выражение ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ A) означает: пересечение P и Q должно лежать внутри A.
- Импликация ложна только в случае 1 → 0, поэтому ищите точку, где левая часть истинна, а правая ложна. Такой точки быть не должно.
- Отрицание отрезка включает всё, что вне него; рисуйте числовую прямую и закрашивайте.
- Если A стоит в левой части импликации, наибольшая длина A ограничена сверху; если в правой, ограничена снизу.
- Рисунок числовой прямой с отмеченными P, Q и их объединением или пересечением решает задание за минуту.
- Следите за граничными точками: от того, строгое неравенство или нестрогое, зависит, включается ли точка.
- Проверьте найденный отрезок подстановкой крайних точек.
Как решать задание 15
- Преобразуйте выражение, убрав импликации.
- Найдите множество x, при которых выражение может оказаться ложным.
- Сформулируйте условие на A, при котором таких x не остаётся.
- Изобразите отрезки P, Q и искомый A на числовой прямой.
- Найдите требуемую длину A и запишите число.
Разбор примера
Найдите наибольшую длину отрезка A, при которой формула (x ∈ A) → ((x ∈ [10; 20]) ∨ (x ∈ [15; 30])) истинна при любом x.
- Импликация истинна всегда, когда из принадлежности A следует принадлежность объединению.
- Значит, отрезок A должен целиком лежать внутри объединения отрезков.
- Находим объединение [10; 20] и [15; 30]: отрезки пересекаются, объединение равно [10; 30].
- Наибольший отрезок A, лежащий внутри [10; 30], совпадает с самим [10; 30].
- Его длина равна 30 − 10 = 20.
Ответ20
Частые ошибки
- Неверно раскрывают импликацию и меняют условие на противоположное.
- Ищут отрезок наибольшей длины, когда требуется наименьшая.
Задание 15 входит в ЕГЭ по информатике. Это единственная страница сайта, где собраны все варианты этого номера: текст условия, картинка задания, правильный ответ, разбор решения и теория с алгоритмом. Остальные номера открываются в списке выше, а их перечень с темами есть в списке заданий ЕГЭ по информатике.