Задание 15 ЕГЭ по информатике

Что проверяет: Логические выражения с отрезками

Задание 15 ЕГЭ по информатике проверяет тему «логические выражения с отрезками». Ниже вы найдёте 1 вариант с условием, ответом и разбором, а под ними теория и алгоритм решения этого номера.

Ответ

Теория к заданию 15 ЕГЭ по информатике: логические выражения с отрезками

Нужно найти наибольшую или наименьшую длину отрезка A, при которой логическое выражение истинно при любом x.

Что нужно знать

Импликация A → B ложна только при A = 1 и B = 0, поэтому требование «истинно всегда» означает: если A истинно, то B тоже.
Выражение удобно преобразовать по правилу A → B = ¬A ∨ B.
Принадлежность числовым отрезкам изображают на числовой прямой, чтобы задача стала наглядной.
Требование «при любом x» означает, что условие должно выполняться на всей числовой прямой.
Обычно задача сводится к тому, что отрезок A должен покрывать некоторое множество точек.

Логические выражения с отрезками

Выражение вида (x ∈ A) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) означает: весь отрезок A должен лежать внутри объединения P и Q.
Выражение ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ A) означает: пересечение P и Q должно лежать внутри A.
Импликация ложна только в случае 1 → 0, поэтому ищите точку, где левая часть истинна, а правая ложна. Такой точки быть не должно.
Отрицание отрезка включает всё, что вне него; рисуйте числовую прямую и закрашивайте.
Если A стоит в левой части импликации, наибольшая длина A ограничена сверху; если в правой, ограничена снизу.
Рисунок числовой прямой с отмеченными P, Q и их объединением или пересечением решает задание за минуту.
Следите за граничными точками: от того, строгое неравенство или нестрогое, зависит, включается ли точка.
Проверьте найденный отрезок подстановкой крайних точек.

Как решать задание 15

Преобразуйте выражение, убрав импликации.
Найдите множество x, при которых выражение может оказаться ложным.
Сформулируйте условие на A, при котором таких x не остаётся.
Изобразите отрезки P, Q и искомый A на числовой прямой.
Найдите требуемую длину A и запишите число.

Разбор примера

Найдите наибольшую длину отрезка A, при которой формула (x ∈ A) → ((x ∈ [10; 20]) ∨ (x ∈ [15; 30])) истинна при любом x.

Импликация истинна всегда, когда из принадлежности A следует принадлежность объединению.
Значит, отрезок A должен целиком лежать внутри объединения отрезков.
Находим объединение [10; 20] и [15; 30]: отрезки пересекаются, объединение равно [10; 30].
Наибольший отрезок A, лежащий внутри [10; 30], совпадает с самим [10; 30].
Его длина равна 30 − 10 = 20.

Ответ20

Частые ошибки

Неверно раскрывают импликацию и меняют условие на противоположное.
Ищут отрезок наибольшей длины, когда требуется наименьшая.

Задание 15 входит в ЕГЭ по информатике. На этой странице собраны все варианты этого номера, которые разобраны на сайте: условие, правильный ответ и разбор решения. Остальные номера открываются в списке выше, а целиком все задания ЕГЭ по информатике с ответами собраны на странице предмета.